收敛是什么意思(函数收敛和发散的定义)

考研——对收敛性及极限性质的考查

华图教育 于洋

从近几年的真题来看，对收敛性及极限性质的考查逐渐增加，这部分的考研大纲要求掌握收敛判别的两种方法和极限的保号性。收敛性的判断主要有两种考法：一是四则运算，一般以小题为主，主要是选择题形式考查，题目会给一定的条件，让考生来判断某个数列（函数）的极限是否存在或者判断敛散性；二是收敛准则，夹逼准则内容一般可以借助几何意义来讨论，利用单调有界收敛准则来判断敛散性主要有两点内容：一是识别考点（单调有界收敛准则：单调有界数列必然收敛）；二是识别条件（单调、有界）。

下面我们来看下考查题型：

因此，本题选择选项（D）。

小结：1.收敛性判别四则运算的性质常用结论：

收敛+收敛=收敛；收敛+发散=发散；发散+发散结果可能发散也可能收敛；

收敛*收敛=收敛；收敛*发散分为两种情况：（1）若收敛不等于0，则为发散；（2）若收敛等于0，情况不确定，可能发散也可能收敛；发散*发散结果可能发散也可能收敛；

2.有界+有界=有界；有界+无界=无界；无界+无界可能无界也可能有界；

有界*有界=有界；有界*无界分为两种情况：（1）若有界不等于0，则为无界；（2）若有界等于0，情况不确定，可能无界也可能有界；无界*无界可能无界也可能有界；

在这里要注意不要将无界和无穷大混淆在一起，无穷大*无穷大等于无穷大。

3.收敛四则运算的性质的结论还可以推广到所有通过极限定义的概念中，比如说连续性:

连续+连续=连续；连续+间断=间断；间断+间断可能连续也可能间断；

连续*连续=连续；连续*间断分为两种情况：（1）若连续不等于0，则为无间断；（2）若连续等于0，情况不确定，可能连续也可能间断；间断*间断可能连续也可能间断；